Grundlage aller Berechnungen sind die Wahrscheinlichkeiten des Verlustes bei einem einzelnen Angriff. Beispiel: Wenn ein Angreifer mit drei Armeen zwei Verteidiger angreift, so gibt es drei mögliche Ausgänge:
Angreifer verliert 0, Verteidiger 2: PA(3,2,0) = 1445/3888 Angreifer verliert 1, Verteidiger 1: PA(3,2,1) = 2611/7776 Angreifer verliert 2, Verteidiger 0: PA(3,2,2) = 2275/7776 |
Die folgenden Werte wurde durch Ausprobieren aller Würfe erzeugt.
PA: 0 1 0 1 2 0 1 2 3
(a,v) (a,v) (a,v)
5 7 125 91 95 49
(1,1) -- -- (2,1) --- --- (3,1) --- ---
12 12 216 216 144 144
55 161 295 35 581 1445 2611 2275
(1,2) --- --- (2,2) ---- --- ---- (3,2) ---- ---- ----
216 216 1296 108 1296 3888 7776 7776
25 119 979 1981 301 535 371 343 5957
(1,3) --- --- (2,3) ---- ---- --- (3,3) ---- ---- ---- -----
144 144 7776 7776 486 3888 1728 1296 15552 |
Die Wahrscheinlichkeit mit a Armeen ein Land zu erobern, daß mit v Armeen verteidigt wird berechnet sich rekursiv. Basis sind die Fälle, daß Angreifer oder Verteidiger keine Armeen mehr haben, also PE(0,v) = 0 und PE(a,0) = 1. Größere Werte von a und v lassen sich rekursiv berechen. Beispiele:
PE(1,1) = PA(1,1,0)PE(1,0) + PA(1,1,1)PE(0,1) = 5/12 * 1 + 7/12 * 0 = 5/12 PE(9,4) = PA(3,3,0)PE(9,1) + PA(3,3,1)PE(8,2) + PA(3,3,2)PE(7,3) + PA(3,3,3)PE(6,4) |
Hat der Angreifer wesentlich mehr Armeen als der Verteidiger, so liegt die Wahrscheinlichkeit für die Eroberung nahe bei 100%. Interessant wird dann die Frage nach der Verlusterwartung für die Eroberung. Geht man davon aus, daß der Angreifer unendlich viele Armeen hat und somit immer mit 3 angreifen kann, so hängt die Verlusterwartung nur von der Anzahl der Verteidigungsarmeen v ab. Ich bezeichne die Funktion mit EdA, Erwartungswert für delta Angreifer. Basisfall ist EdA(0)=0. Zu beachten ist, daß bei der Aufstellung der Rekursionsgleichung links und rechts der gleiche Term auftaucht. Sie muß für die Berechnung erst umgestellt werden.
EdA(1) = PA(3,1,0) (0+EdA(0)) + PA(3,1,1) (1+EdA(1)) => EdA(1)
=>
EdA(1) = 49/95
EdA(2) = PA(3,2,0) (0+EdA(0)) + PA(3,2,1) (1+EdA(1)) + PA(3,2,1) (2+EdA(2))
=>
EdA(2) = 808234/522595
EdA(n) = PA(3,3,0) (0+EdA(n-3)) + PA(3,3,1) (1+EdA(n-2)) +
PA(3,3,2) (2+EdA(n-1)) + PA(3,3,3) (3+EdA(n))
=>
EdA(n) = (29442 + 4116 EdA(n-1) + 3339 EdA(n-2) + 2140 EdA(n-3)) / 9595 |
Betrachtet man große Schlachten, bei denen die Mehrheit der Angriffe drei gegen drei ausgetragen wird, so kann man die Verlusterwartungen für einen (3,3)-Angriff ins Verhältnis setzen und erhält die "asymptotische Übermacht". Sie gibt das Verhältnis zwischen Angreifer und Verteidiger an, bei dem die Eroberungswahrscheinlichkeit etwa 50% ist.
Verlust des Angreifers 0 P(3,3,0) + 1 P(3,3,1) + 2 P(3,3,2) + 3 P(3,3,3) 4907 ------------------------ = ------------------------------------------------- = ---- Verlust des Verteidigers 3 P(3,3,0) + 2 P(3,3,1) + 1 P(3,3,2) + 0 P(3,3,3) 2869 |
PA[a_, v_, da_] := {
{{15,21}/6^2,{55,161}/6^3,{225,1071}/6^4},
{{125,91}/6^3,{295,420,581}/6^4,{979,1981,4816}/6^5},
{{855,441}/6^4,{2890,2611,2275}/6^5,{6420,10017,12348,17871}/6^6}
}[[a, v, da+1]];
PE[0,v_] = 0;
PE[a_,0] = 1;
PE[a_,v_]:= PE[a,v] =
Sum[PA[Min[a,3],Min[v,3],da] PE[a-da,v-Min[a,v,3]+da],{da,0,Min[a,v,3]}];
EdA[0] = 0;
EdA[1] = 49/95;
EdA[2] = 808234/522595;
EdA[v_]:= EdA[v] =
29442/9595 + 4116/9595 EdA[v-1] + 3339/9595 EdA[v-2] + 2140/9595
EdA[v-3]; |